Overview / 总述
作业目标 / Objective
在我们的仿真代码中，电机模型由 5 条常微分方程（ODE）描述：
$$\dot{x}[0],\;\dot{x}[1],\;\dot{x}[2],\;\dot{x}[3],\;\dot{x}[4]$$
它们分别对应 $\theta_\text{mech}$、$\omega_\text{mech}$、$\psi_\text{AF}$（KA）、$i_D$、$i_Q$ 的时间导数。通过选择不同参数（$R_\text{req}$、$\psi_\text{PM}$、$L_d$、$L_q$），同一组方程描述 SPM、IPMSM、SynRM 和 IM。
本次作业要求你从零开始（"from nothing"），一步步推导出这五条方程。
为什么要写微分方程？
如果把麦克风放在桌上，你能直接看到它的位置。但电机内部的电流、磁链等状态变量是看不到的。我们写微分方程的目的，就是用数学去预测这些看不到的状态，进而才能控制它们——这是整门课的核心思想。
Part 1 / 第一部分 (30 分)
坐标系、旋转与物理矢量 / Coordinate Frames, Rotation, and Physical Vectors
1.1 圆周运动的坐标表示 / Coordinates of Circular Motion
设质点 $P$ 在半径为 $r$ 的圆上做匀速圆周运动，角速度为 $\omega$。
Task 1.1
在静止笛卡尔坐标系 $(\alpha, \beta)$ 下，写出 $P$ 的坐标 $(p_\alpha(t),\; p_\beta(t))$。
将 $P$ 的位置投影到圆的一条直径上（取 $\alpha$ 轴），写出该投影的表达式。指出这是一个什么样的运动（正弦/余弦振动）。
现在建立一个与 $P$ 同步旋转的坐标系 $(d, q)$，其 $d$ 轴始终指向 $P$。在该旋转坐标系下，$P$ 的坐标是什么？与 (a) 对比，哪个更简单？
1.2 物理矢量与坐标无关性 / Physical Vectors are Frame-Independent
一个物理矢量 $\hat{\vec{p}}$（上标 hat 表示不指定坐标系）在不同坐标系下有不同的坐标分量，但它代表的物理实体不变。例如：
- 在静止 $\alpha\beta$ 系下：$\vec{p}^s = \begin{bmatrix} p_\alpha \\ p_\beta \end{bmatrix}$
- 在旋转 $dq$ 系下：$\vec{p}^r = \begin{bmatrix} p_d \\ p_q \end{bmatrix}$
两者通过旋转矩阵 $\mathbf{R}(\theta)$ 相连：$\vec{p}^r = \mathbf{R}(-\theta)\,\vec{p}^s$。
Task 1.2
写出 $2\times2$ 旋转矩阵 $\mathbf{R}(\theta)$，并验证 $\mathbf{R}(-\theta) = \mathbf{R}^T(\theta)$。
用 Task 1.1(a) 的结果验证：将 $\alpha\beta$ 坐标通过 $\mathbf{R}(-\omega t)$ 变换到 $dq$ 系后，是否得到 Task 1.1(c) 的结果。
1.3 旋转坐标系中的求导算子 / Derivative Operator in a Rotating Frame
物理定律（如牛顿定律、法拉第定律）写成矢量形式时，应在任何坐标系下都成立。但如果我们在旋转坐标系中对坐标分量直接求时间导数 $\frac{d}{dt}$，会丢掉坐标系本身的旋转贡献。
Task 1.3 — 惯性力的例子 / Inertial Force Example
设一个麦克风放在桌上。桌子相对于墙是静止的。定义：
- 墙为参考原点，麦克风到桌子边缘的距离为 $Y$，桌子到墙的距离为 $X$
- 麦克风相对墙的绝对位置 = $X + Y$
若桌子（"旋转坐标系"的类比）以速度 $v$ 移动，在桌子的参考系中麦克风静止（$\dot{Y}=0$）。写出麦克风在墙参考系中的加速度。指出"桌子在动"带来的额外项对应什么力（惯性力 / inertial force）。
推广到旋转坐标系：一个矢量 $\hat{\vec{p}}$ 在角速度 $\omega$ 的旋转系下，其坐标分量的"绝对导数"（在惯性系中的导数）与"相对导数"（直接对旋转系坐标求导）之间的关系是什么？写出修正后的求导算子。
结论预告 / Key Result: 在角速度 $\omega$ 的旋转坐标系中，对物理矢量用复数表示时，求导算子需修正为：
$$\frac{d}{dt}\bigg|_{\text{inertial}} = \frac{d}{dt}\bigg|_{\text{rotating}} + j\omega$$
即 Laplace 算子 $s \to s + j\omega$。这保证了牛顿定律与法拉第定律在旋转系下仍然成立。
Task 1.4 — 反电动势的例子 / Back-EMF Example
法拉第电磁感应定律：$e = -\frac{d\psi}{dt}$（感应电压 = 磁链的时间导数取负）。
在经典力学中，力 $F = m\ddot{x}$ 是位置的二阶导数。对应到电机电路中，反电动势（back-EMF）$e = -\frac{d\psi}{dt}$ 是磁链的一阶导数。解释为什么"力 ↔ 反电动势"是一对类比。
如果磁链矢量 $\hat{\vec{\psi}}$ 在旋转系下的分量为 $(\psi_d,\, \psi_q)$，利用 Task 1.3 的修正算子，写出反电动势在旋转系下的表达式。指出多出来的 $j\omega\vec{\psi}$ 项的物理含义（速度电动势 / speed EMF）。
Part 2 / 第二部分 (20 分)
从磁场到电路：磁通与磁链 / From Field to Circuit: Flux and Flux Linkage
2.1 磁通量是场的量 / Magnetic Flux is a Field Quantity
磁通量（magnetic flux）$\Phi$ 是磁感应强度 $\vec{B}$ 在某个截面 $S$ 上的面积分：
$$\Phi = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{A}$$
这是一个"场"的概念——它依赖于空间分布。但在电路分析中，我们不想处理空间积分，而希望所有量都是时间的函数。
2.2 磁链的定义 / Definition of Flux Linkage
对于一个 $N$ 匝线圈，磁链（flux linkage）定义为：
$$\psi = N \Phi = L \, i$$
其中 $L$ 是电感，$i$ 是电流。磁链 $\psi$ 是一个纯粹的电路量，单位 Wb（韦伯），它把场的信息"浓缩"成了一个与时间相关的标量。
Task 2.1
解释为什么在电路分析中我们更偏好磁链 $\psi$ 而不是磁通密度 $\vec{B}$。（提示：微分方程需要的是时间域的量。）
法拉第定律用磁链表示：$u = \frac{d\psi}{dt}$（忽略负号约定）。如果 $\psi = L\,i$，且 $L$ 为常数，写出 $u$ 关于 $i$ 的表达式。
如果电感 $L$ 不是常数（比如随转子位置变化），$u = \frac{d(Li)}{dt}$ 展开后有几项？哪一项对应反电动势？
Part 3 / 第三部分 (30 分)
电机等效电路与 KVL/KCL / Equivalent Circuit and Kirchhoff's Laws
3.1 单相等效电路 / Single-Phase Equivalent Circuit
考虑电机定子的一相绕组，其等效电路包含：
- 电压源 $u$：逆变器施加的端电压
- 电阻 $R_s$：绕组铜阻
- 漏感 $L_\sigma$：不与转子交链的漏磁路对应的电感
- 励磁电感 $L_m$：与转子（永磁体或感应笼）交链的主磁路对应的电感
Task 3.1
画出该单相等效电路图。标注 $u$、$R_s$、$L_\sigma$、$L_m$，以及各支路电流和磁链。
对该电路写出 KVL（基尔霍夫电压定律）方程。指出每一项的物理含义（电阻压降、漏磁链的感应电压、主磁链的感应电压/反电动势）。
解释 $L_\sigma$ 和 $L_m$ 在物理上的区别：哪个对应"不与转子交链"的磁通路径？哪个对应"与永磁体/转子感应绕组交链"的磁通路径？
3.2 从三相到矢量：KCL 的约束 / From Three Phases to a Vector: The KCL Constraint
电机有三个定子绕组（A、B、C 相），每相的电流分别为 $i_A$、$i_B$、$i_C$。
Task 3.2
如果三相绕组的中性点相连（星形接法），写出 KCL 约束：$i_A + i_B + i_C = \;?$
这个约束说明三个电流分量不是独立的——它们被约束在一个二维平面内（三维空间中的一个平面）。解释为什么我们可以用一个二维矢量 $\vec{i}^s = \begin{bmatrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{bmatrix}$ 来等价表示三相电流。
这个 $\alpha\beta \to dq$ 的坐标变换，和 Part 1 中圆周运动的例子有什么联系？为什么选择旋转坐标系能简化电机的微分方程？
提示 / Hint: 回忆 Part 1 中圆周运动的点在 $\alpha\beta$ 系下的坐标是正弦函数，而在同步旋转 $dq$ 系下变成了常数。电机的三相电流在稳态时也是正弦波——如果不做坐标变换，电压方程中会出现正弦函数的乘积（调制/modulation），使模型高度非线性。选择合适的旋转坐标系，正弦变常数，方程大幅简化。
Part 4 / 第四部分 (20 分)
综合推导：写出五条 ODE / Putting It All Together: Derive the 5 ODEs
现在你已经掌握了所有工具：旋转坐标系、修正求导算子 $\frac{d}{dt} + j\omega$、磁链、KVL。
Task 4.1 — 电压方程推导
从 Part 3 的 KVL 出发，将电压方程写成磁链形式：$u = R_s\,i + \frac{d\psi}{dt}$。
将上式变换到以角速度 $\omega_\text{syn}$ 旋转的 $dq$ 坐标系，利用修正求导算子，写出 $dq$ 系下的电压方程（分 $d$ 轴和 $q$ 轴两条）。
引入 active flux 定义 $\psi_\text{AF} = \psi_d - L_q\,i_D$，将 (b) 的结果重写为以 $(\psi_\text{AF},\, i_D,\, i_Q)$ 为状态变量的形式。解出 $\frac{di_D}{dt}$ 和 $\frac{di_Q}{dt}$——这就是代码中的 $\dot{x}[3]$ 和 $\dot{x}[4]$。
Task 4.2 — Active flux 动力学
对于 PMSM（$R_\text{req} = 0$），从 $\psi_\text{AF} = (L_d - L_q)\,i_D + \psi_\text{PM}$ 直接求导，写出 $\frac{d\psi_\text{AF}}{dt}$——这是代码中 $\dot{x}[2]$ 的 PMSM 分支。
对于 IM（$R_\text{req} > 0$），说明为什么 $\psi_\text{AF}$ 变成了独立动态变量，并写出 $\frac{d\psi_\text{AF}}{dt} = R_\text{req}\,i_D - \frac{R_\text{req}}{L_d - L_q}\psi_\text{AF}$——这是 $\dot{x}[2]$ 的 IM 分支。
Task 4.3 — 机械方程
写出转矩方程 $T_\text{em} = \frac{3}{2}\,n_\text{pp}\,\psi_\text{AF}\,i_Q$。
写出牛顿第二定律的旋转形式：$J_s \frac{d\omega_\text{mech}}{dt} = T_\text{em} - T_\text{load}$——这是 $\dot{x}[1]$。
写出 $\frac{d\theta_\text{mech}}{dt} = \omega_\text{mech} + \frac{\omega_\text{slip}}{n_\text{pp}}$——这是 $\dot{x}[0]$。解释 IM 的滑差项 $\omega_\text{slip} = \frac{R_\text{req}\,i_Q}{\psi_\text{AF}}$ 为什么对 PMSM 为零。
恭喜！/ Congratulations! 完成 Task 4.1–4.3 后，你已经从零推导出了代码中 DYNAMICS_MACHINE 函数的全部 5 条 ODE：$\dot{x}[0] \sim \dot{x}[4]$。这就是统一 AC 电机模型的完整数学基础。
Submission / 提交
作业提交 / Submit Your Work
请将你的推导过程（手写拍照或电子文档）整理好后提交。要求书写清晰，公式推导完整，图表标注规范。