Overview / 总述
解答说明 / Notes
这是一份与 homework2.html 对应的参考解答。目标不是给出唯一写法，而是给出一条和 Lecture 2、Lecture 3 一致的推导链：先从统一转矩方程得到机械速度子系统，再把摩擦、负载、参数失配和转矩误差统一写成总扰动，最后构造观测器、前馈和三通道分析框架。
主线 / Main thread:
Lecture 2 告诉我们电机的电磁状态如何产生转矩；Lecture 3 则把这些内部电磁细节在速度环外层等效为“转矩输入、速度输出”的对象，并进一步回答：如何估计扰动、如何做前馈补偿、以及为什么跟踪/抗扰/噪声三者不能同时最优。
Part 1 / 第一部分
从统一电机模型到机械速度子系统 / From the Unified Machine Model to the Mechanical Speed Plant
Task 1.1 参考解答
Solution 1.1
当电流内环带宽远高于速度环带宽时，$i_D,i_Q$ 及其相关电磁状态收敛得比机械速度快得多。在这种时间尺度分离下，速度控制器可以把“电流环 + 电机电磁子系统”近似看成一个理想转矩执行器：给定 $i_Q^*$ 就几乎等价于给定 $T_e^*$。因此速度环不必每次都显式求解全部五维电磁 ODE，而是可以只保留机械状态 $(\theta_m,\Omega)$。
引入粘性摩擦后，PMSM 的机械速度方程写为
$$J\dot{\Omega}=T_e-B\Omega-T_L.$$
其中 $J$ 是实际转动惯量，$B\Omega$ 是粘性摩擦转矩，$T_L$ 是负载转矩。
取状态为
$$x_m=\begin{bmatrix}\theta_m\\ \Omega\end{bmatrix}, \qquad \Omega=\dot{\theta}_m,$$
则二阶机械子系统可写成
$$\dot{\theta}_m=\Omega,$$
$$\dot{\Omega}=\frac{1}{J}\left(T_e-B\Omega-T_L\right).$$
若写成矩阵形式，则
$$\dot x_m=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & -B/J
\end{bmatrix}x_m
+
\begin{bmatrix}
0\\ 1/J
\end{bmatrix}T_e
+
\begin{bmatrix}
0\\ -1/J
\end{bmatrix}T_L.$$
Task 1.2 参考解答
Solution 1.2
令
$$b=\frac{1}{J},$$
则 Task 1.1(b) 可写为
$$\dot{\Omega}=bT_e+d_n,$$
$$d_n=-\frac{B\Omega+T_L}{J}.$$
这里的 $d_n$ 至少包含粘性摩擦和负载转矩；若还存在其他未建模机械阻力，也可并入这一项。
若控制器输出的是转矩参考 $T_e^*$，则把“参考转矩和实际转矩的差”也打包进扰动：
$$\dot{\Omega}
=\frac{1}{J}T_e^*-\frac{T_e^*-T_e+B\Omega+T_L}{J}
=bT_e^*+d_n',$$
其中
$$d_n'=-\frac{T_e^*-T_e+B\Omega+T_L}{J}.$$
进一步引入标称惯量 $J_n$ 和
$$b_n=\frac{1}{J_n},$$
则
$$\dot{\Omega}=b_nT_e^*+\underbrace{(b-b_n)T_e^*+d_n'}_{d_{to}},$$
即
$$d_{to}=(b-b_n)T_e^*-\frac{T_e^*-T_e+B\Omega+T_L}{J}.$$
它把惯量失配、转矩跟踪误差、摩擦和外负载统一成了一个总扰动。
定义
$$k_b=\frac{b_n}{b}=\frac{J}{J_n}.$$
其物理意义为：
- $k_b=1$：实际惯量与标称惯量一致，参数匹配。
- $k_b>1$：实际惯量大于标称惯量，即真实系统比控制器认为的“更重”。
- $k_b<1$：实际惯量小于标称惯量，即真实系统比控制器认为的“更轻”。
因而 $k_b$ 本质上度量的是惯量失配程度。
Part 1 小结：
机械速度环最重要的抽象是：把复杂电机外层等效为一个带总扰动的积分对象
$$\dot{\Omega}=b_nT_e^*+d_{to}.$$
有了这个抽象，后面的观测器和前馈才有统一入口。
Part 2 / 第二部分
观测器型速度控制律 / Observer-Based Speed Control Law
Task 2.1 参考解答
Solution 2.1
定义速度误差
$$e_s=\Omega^*-\Omega,$$
$$\dot e_s=\dot{\Omega}^*-\dot{\Omega}.$$
期望误差满足
$$\dot e_s=-k_{ps}e_s=-k_{ps}(\Omega^*-\Omega).$$
又由 Part 1 得
$$\dot{\Omega}=b_nT_e^*+d_{to}.$$
代入得到
$$\dot{\Omega}^*-(b_nT_e^*+d_{to})=-k_{ps}(\Omega^*-\Omega),$$
解出理想控制律
$$T_e^*=\frac{\dot{\Omega}^*+k_{ps}(\Omega^*-\Omega)-d_{to}}{b_n}.$$
该式不能直接实现，因为真实速度 $\Omega$ 和总扰动 $d_{to}$ 并不能被直接测量。实际中用观测器给出估计值 $\hat\Omega$ 和 $\hat d_{to}$，于是控制律写成
$$T_e^*=\frac{\dot{\Omega}^*+k_{ps}(\Omega^*-\hat{\Omega})-\hat d_{to}}{b_n}.$$
Lecture 2 的统一转矩方程为
$$T_e=\frac{3}{2}n_{\mathrm{pp}}\psi_{\mathrm{AF}}i_Q.$$
因而转矩参考到 $q$ 轴电流参考的换算为
$$i_Q^*=\frac{T_e^*}{\frac{3}{2}n_{\mathrm{pp}}\psi_{\mathrm{AF}}}.$$
在实现中通常使用估计或给定的 active flux：
$$i_Q^*\approx \frac{T_e^*}{\frac{3}{2}n_{\mathrm{pp}}\hat\psi_{\mathrm{AF}}}.$$
需要 $\psi_{\mathrm{AF}}$ 的原因是：同样的转矩在不同磁链水平下对应不同的 $i_Q$；尤其对 IM，active flux 不是常数，而是随励磁状态动态变化。
Task 2.2 参考解答
Solution 2.2
三阶观测器取状态
$$[\hat{\theta}_m,\hat{\Omega},\hat d_{to}], \qquad
e_\theta=\theta_m^{\mathrm{meas}}-\hat{\theta}_m.$$
状态方程为
$$\dot{\hat{\theta}}_m=\ell_1 e_\theta+\hat{\Omega},$$
$$\dot{\hat{\Omega}}=\ell_2 e_\theta+(b_nT_e^*+\hat d_{to}),$$
$$\dot{\hat d}_{to}=\ell_3 e_\theta.$$
三个状态的含义分别是：位置估计、速度估计、总扰动估计。位置误差 $e_\theta$ 是所有校正项的共同驱动信号；它越大，说明观测器内部模型与真实测量偏差越大，需要更强修正。
四阶观测器取状态
$$[\hat{\theta}_m,\hat{\Omega},\hat d_{to},\hat p_{to}],$$
其方程为
$$\dot{\hat{\theta}}_m=\ell_1 e_\theta+\hat{\Omega},$$
$$\dot{\hat{\Omega}}=\ell_2 e_\theta+(b_nT_e^*+\hat d_{to}),$$
$$\dot{\hat d}_{to}=\ell_3 e_\theta+\hat p_{to},$$
$$\dot{\hat p}_{to}=\ell_4 e_\theta.$$
新增状态 $\hat p_{to}$ 是扰动变化率的估计。它等于“扰动不再被看成常数，而是被看成线性变化量”，因此能更好地跟踪斜坡型或缓慢持续增长的扰动。
按 Lecture 3 的极点配置法，把观测器极点都放在 $s=-\omega_{ob}$。
三阶时
$$\Delta_3=(s+\omega_{ob})^3=s^3+3\omega_{ob}s^2+3\omega_{ob}^2s+\omega_{ob}^3,$$
所以
$$\ell_1=3\omega_{ob},\qquad
\ell_2=3\omega_{ob}^2,\qquad
\ell_3=\omega_{ob}^3/b_n.$$
四阶时
$$\Delta_4=(s+\omega_{ob})^4=s^4+4\omega_{ob}s^3+6\omega_{ob}^2s^2+4\omega_{ob}^3s+\omega_{ob}^4,$$
所以
$$\ell_1=4\omega_{ob},\qquad
\ell_2=6\omega_{ob}^2,\qquad
\ell_3=4\omega_{ob}^3/b_n,\qquad
\ell_4=\omega_{ob}^4.$$
Part 2 小结：
观测器控制律的核心结构是
$$\text{feedback for tracking} + \text{feedforward for disturbance cancellation}.$$
其中 $k_{ps}$ 主要决定跟踪速度，$\omega_{ob}$ 主要决定扰动估计快慢与噪声敏感性。
Part 3 / 第三部分
三条闭环通道与系统型别 / The Three Closed-Loop Channels and System Type
Task 3.1 参考解答
Solution 3.1
三通道分解写为
$$\Omega(s)=\Phi_r(s)\Omega^*(s)+\Phi_d(s)d_n(s)+\Phi_n(s)\big(-s\delta_p(s)\big).$$
其物理意义分别是：
- $\Phi_r(s)$：参考指令到速度输出的传递函数，描述跟踪性能。
- $\Phi_d(s)$：扰动到速度输出的传递函数，描述抗扰能力。
- $\Phi_n(s)$：测量噪声到速度输出的传递函数，描述噪声抑制能力。
编码器直接测的是位置
$$\theta_m^{\mathrm{meas}}=\theta_m+\delta_p.$$
速度则来自位置的一阶导数，因此
$$\Omega_m=s\theta_m^{\mathrm{meas}}=s\theta_m+s\delta_p.$$
也就是说，位置噪声在速度通道中会被求导，噪声高频成分被显著放大。Lecture 3 统一写成 $-s\delta_p(s)$，强调噪声是“位置噪声经求导后的等效速度噪声”。
Lecture 3 给出的统一表达式可记为
$$D(s)=\Delta_n(s+k_{ps})+(k_b-1)sG_3(s),$$
则
$$\Phi_r(s)=\frac{\Delta_n(s+k_{ps})}{D(s)},$$
$$\Phi_d(s)=\frac{k_bG_3(s)}{D(s)},$$
$$\Phi_n(s)=1-s\Phi_d(s).$$
其中 $G_3(s)$ 是观测器结构的浓缩表达：它把速度估计和扰动估计的组合方式统一折叠进一个辅助传递函数。它在原点附近的零点阶数决定低频抗扰型别，在高频的阶次决定噪声滚降特性。
Task 3.2 参考解答
Solution 3.2
观测器每多扩展一阶扰动状态，就相当于假设“扰动的更高阶导数是常数”，从而在扰动估计通道中增加一个积分器。这个额外积分器不会直接加到参考跟踪反馈链上，而是加在“从位置误差估计扰动”的内部模型里，因此提升的是扰动通道的系统型别。
若三阶观测器在低频满足
$$G_3(s)\sim c_1s,\qquad s\to 0,$$
则
$$\Phi_d(s)\big|_{k_b=1}=\frac{G_3(s)}{\Delta_3(s+k_{ps})}\sim \frac{c_1s}{\text{const.}}.$$
因而 $\Phi_d(0)=0$，对阶跃扰动具有零稳态误差。这正是扰动通道上的 Type I：能无差抑制恒定负载转矩。
若四阶观测器在低频满足
$$G_3(s)\sim c_2s^2,\qquad s\to 0,$$
则扰动通道多了一个原点零点，对斜坡型扰动也可实现零稳态误差。因此它是扰动通道上的 Type II。相比三阶观测器，它额外能够无差抑制线性增长的负载扰动。
若在速度 PI 后面再串联一个积分器（变成 PII），理论上也能提高扰动型别，但代价是：新增积分器同时进入跟踪通道、扰动通道和噪声通道。结果通常是相位裕度下降、超调增大、噪声更容易被放大。相比之下，观测器方法把“额外积分器”主要放在扰动估计支路中，因此更利于把跟踪与抗扰分离调节。
Part 3 小结：
系统型别并不只适用于“参考输入”，也可以用于“扰动输入”。Lecture 3 的关键洞察就是：观测器的扩展状态阶数，直接决定了扰动通道的型别。
Part 4 / 第四部分
三方权衡、鲁棒性与实现映射 / Tradeoff, Robustness, and Implementation Mapping
Task 4.1 参考解答
Solution 4.1
互补关系
$$\Phi_n(s)+s\Phi_d(s)=1$$
说明噪声通道与扰动通道不是独立可调的。若希望在更宽频带内快速估计并抵消扰动，则通常需要增大 $s\Phi_d$ 的作用范围；与此同时，$\Phi_n$ 就无法在同一频带保持很小。换句话说，不能同时做到“扰动估计极快”且“所有频率上的测量噪声都被强烈抑制”。
当观测器带宽 $\omega_{ob}$ 增大时：
- 扰动估计收敛更快，低频和中频扰动抑制通常更强。
- 观测器可用频带变宽，补偿动作更积极。
- 但由于位置噪声被求导且观测器响应更快，高频噪声更容易进入 $\hat\Omega$ 和 $\hat d_{to}$，噪声放大更严重。
- 因此 $\omega_{ob}$ 不是越大越好，而是在“快估计”和“低噪声”之间折中。
按 Lecture 3 的结论：
- $k_b>1$：实际惯量大于标称惯量，系统更容易出现超调和振荡，但噪声抑制往往更好。
- $k_b<1$：响应会显得更快，但更容易暴露噪声，且低频抗扰性能更差。
- $k_b=1$：参数匹配时三通道表现最理想。
Task 4.2 参考解答
Solution 4.2
一个简化的信号流程图可以写成：
theta_m^meas
|
v
[ Observer ] ----> hat_Omega, hat_d_to
| |
| v
| [ Disturbance FF ]
| |
Omega* --> [ Speed Error ] --> [ PI feedback ] --+
|
v
[ Torque command T_e* ]
|
v
[ i_Q* = T_e* / (1.5 n_pp psi_AF) ]
|
v
[ Current loop + machine ]
|
v
Omega
该结构属于二自由度控制，因为输出命令来自两条不同作用机理的通道：
- PI feedback：根据跟踪误差工作，主要决定参考跟踪性能。
- disturbance feedforward：根据扰动估计工作，主要决定抗扰性能。
两者可以分别整定，所以不是单一自由度的 PI。
工程上若二选一：
- 若负载变化主要是恒值或缓慢变化，编码器噪声较大，且更看重鲁棒性与实现简单性，优先选三阶观测器。
- 若应用中确实存在持续变化的负载斜坡，希望提高低频抗扰型别，且传感器质量较好、允许更严格的调参，则选四阶观测器。
一个实用标准是：先判断“是否真的需要对斜坡型扰动零稳态误差”，再判断“现有编码器噪声和参数不确定性是否允许更高阶观测器”。若没有明确的 ramp-disturbance 需求，三阶通常是更稳妥的默认选择。
总 结 / Final takeaway：
Lecture 2 给出统一电机对象模型，Lecture 3 在其上构造出观测器型 2DOF 速度控制。最终你应掌握三件事：一是如何把复杂内环等效成机械速度对象；二是如何把未知因素统一成 total disturbance；三是为什么观测器设计本质上是在跟踪、抗扰和噪声之间做结构化折中。
Usage Note / 使用说明
如何使用这份参考解答 / How to Use This Page
这是一份参考解答，不是唯一标准答案。
你可以直接把其中的推导链条整理成 Markdown 文档，也可以按自己的表达方式重写，只要逻辑完整、公式一致、物理解释自洽即可。
Grading Rubric / 评分标准
评分标准（满分 100 分） / Rubric (100 Points Total)
总原则：
评分不仅看最终公式是否写对，也看推导链条是否完整、物理解释是否清楚、符号是否一致、结构是否清晰。只写结论不给推导或解释，将被扣分。
Part 1：从统一电机模型到机械速度子系统（25 分）
- 正确写出并解释机械方程、转矩输入与速度输出的等效关系：10 分
- 正确定义并推导 $d_n$、$d_{to}$、$k_b$：10 分
- 物理解释清楚，能说明惯量失配的含义：5 分
Part 2：观测器型速度控制律（25 分）
- 正确推导理想控制律与实际控制律：10 分
- 正确完成从 $T_e^*$ 到 $i_Q^*$ 的换算，并说明 active flux 的作用：5 分
- 正确写出三阶、四阶观测器及其极点配置结果：10 分
Part 3：三条闭环通道与系统型别（30 分）
- 正确写出三通道分解，并解释 $\Phi_r$、$\Phi_d$、$\Phi_n$：10 分
- 正确说明位置噪声为何以 $-s\delta_p$ 形式进入速度通道：5 分
- 正确分析三阶 / 四阶观测器在扰动通道中的 Type I / Type II 性质：10 分
- 能讨论 PII 与高阶观测器的代价差异：5 分
Part 4：三方权衡、鲁棒性与实现映射（20 分）
- 正确解释噪声抑制与扰动抑制的互补关系：8 分
- 正确讨论 $\omega_{ob}$ 与 $k_b$ 对性能的影响：6 分
- 信号流程图、2DOF 解释和工程化选择标准清楚完整：6 分
常见扣分项：
- 只给最后公式，不写中间推导步骤。
- 符号混乱，例如把机械角速度、转速、扰动、估计量混写。
- 只说“Type I / Type II”而不说明对应的输入、输出和可消除的扰动类型。
- 只做数学推导，不做物理解释，或只讲直觉不对应公式。
- 结构混乱，Markdown 报告中标题层级、公式编号、图表标注不清楚。