ACMSimC: Modeling Saturation
今天开始，我会慢慢停止过家家，然后逐渐开始介绍一些逼近我的知识边界的内容。所以，内容可能有不准确之处，请自行辨别。
Introduction
截至目前，我们用的感应电机模型或永磁电机模型，都是作了超多的假设的，我这里提三点。
第一点，基波模型假设。很多人都知道这个词，但是又可能说不出个所以然来，要我来说，就是在用绕组函数推导电感表达式的时候，作了绕组函数关于气隙空间位置是正弦波的假设，本质上等价于假设绕组的匝数是正弦分布于气隙中的——此处的“绕组在气隙中”暗示忽略了齿槽效应。对于常见的齿数比较多的中大型感应电机来说，由于分布、短距（暗示双层绕组）、斜槽（削弱齿槽效应的两个源头中的一个）的加持，这么假设感觉还是很合理的。
这里抛一个问题：对于每极每相槽数不为整数的分数槽电机来说，咱们还用基波模型吗？对于利用所谓的“磁场调制效应”产生“额外”转矩的电机（比如开关磁链电机和游标电机）来说，咱们还用基波模型吗？
关于答案就不要问我了，我也不清楚，哈哈。
第二点，忽略铁耗电阻。我们打开标准 IEEE Std 112-2017，找到感应电机的等效电路图如下：
这里的 $R_{fe}$ 就是铁耗电阻，一般阻值在 1000 Ohm 这个量级。根据空载试验和堵转实验，可以拿到在某些个频率点下的铁耗电阻值，再根据那个 Steinmetz’s equation 拟合一下，就可以查表使用了。
第三点，忽略饱和现象。相比前面两点，这一点的影响其实是最大的。比如，仿真里，只要你 M 轴电流使劲给，磁链弄出个 20 Wb （额定比如说是 1.0 Wb）都没有问题——这在现实中是不可能的。
所以，今天，咱们就是要把磁路中的铁芯随着磁场强度的增强，其磁导率最终（不一定是单调的）减小的现象给建个模。在电路中，该现象表现为励磁电感随着励磁电流的变化而变化。
IM Model Using Fluxes as States
定、转子磁链解算（这一步是唯一的数值积分步）
我就不绕弯了，文献是 Therrien et al. 2013，状态变量得选为定、转子磁链。
\[\left\{ \begin{array}{l} p{\psi _{qs}} = {u_{qs}} - {r_s}{i_{qs}} - \omega {\psi _{ds}}\\ p{\psi _{ds}} = {u_{ds}} - {r_s}{i_{ds}} + \omega {\psi _{qs}}\\ p{\psi _{qr}} = - {r_r}{i_{qr}} - \left( {\omega - {\omega _r}} \right){\psi _{dr}}\\ p{\psi _{dr}} = - {r_r}{i_{dr}} + \left( {\omega - {\omega _r}} \right){\psi _{qr}} \end{array} \right.\]对上面这个动态方程（当然还要加上转子运动方程）进行仿真，你应该感到没有任何压力，因为电感压根没出现，但是电流从哪里来？
强调一下，这边的 d-q 系是定子静止坐标系。本身在感应电机建模中讲 d-q 坐标系就很反常了，所以不应该出现误解。为什么原作者要这么做？因为他们要提出一个感应电机和同步电机通用的模型。
z标电流解算（查表用电流）
根据当前步的磁链状态，得到以z为下标的电流。
\[\left\{ \begin{array}{l} {i_{zq}} \buildrel \Delta \over = \left( {\frac{{{\psi _{qs}}}}{{{L_{ls}}}} + \frac{{{\psi _{qr}}}}{{{L_{lr}}}}} \right) = {i_{mq}} + \left( {\frac{1}{{{L_{ls}}}} + \frac{1}{{{L_{lr}}}}} \right){\psi _{mq}}\\ {i_{zd}} \buildrel \Delta \over = \left( {\frac{{{\psi _{ds}}}}{{{L_{ls}}}} + \frac{{{\psi _{dr}}}}{{{L_{lr}}}}} \right) = {i_{md}} + \left( {\frac{1}{{{L_{ls}}}} + \frac{1}{{{L_{lr}}}}} \right){\psi _{md}} \end{array} \right.\]据此可知，这个模型的唯一缺点，就是不能假设转子漏感 Llr 为零——然而，在简单模型中该假设是合法的。
如果z电流向量的幅值大于零，那么就拿来查表：$\psi_m=G(i_z)$。如何获得该表？请根据下式来弄：
\[i_z=\sqrt{i_{zq}^2+i_{zd}^2}=i_m+\psi_m/L_{\Sigma l}\]式中，$L_{\Sigma l}=(1/L_{ls}+1/L_{lr})^{-1}$ ，物理意义感觉是把定、转子漏感并联起来所得的漏电感？所谓的饱和曲线，就是指励磁电流$i_m$和气隙磁链$\psi_m$的关系。
气隙磁链结算
气隙磁链可以用你的表和z标电流进行求解：
\[\left\{ \begin{array}{l} {\psi _{mq}} = {\psi _m}\frac{{{i_{zq}}}}{{{i_z}}} = G\left( {{i_z}} \right)\frac{{{i_{zq}}}}{{{i_z}}}\\ {\psi _{md}} = {\psi _m}\frac{{{i_{zd}}}}{{{i_z}}} = G\left( {{i_z}} \right)\frac{{{i_{zd}}}}{{{i_z}}} \end{array} \right.\]电流解算
求电流就是先求漏磁链，除以漏电感就是了。
\[\left\{ \begin{array}{l} {i_{qs}} = \frac{{{\psi _{qs}} - {\psi _{mq}}}}{{{L_{ls}}}}\\ {\psi _{ds}} = {L_{ls}}{i_{ds}} + {\psi _{md}}\\ {i_{qr}} = \frac{{{\psi _{qr}} - {\psi _{mq}}}}{{{L_{lr}}}}\\ {\psi _{dr}} = {L_{lr}}{i_{dr}} + {\psi _{md}} \end{array} \right.\]这里已经全了——定转子的d、q轴电流——不要被形式所迷惑。这边求得的电流，带入到定、转子磁链结算那一步，你的数值积分求解器就能跑下去了。
m标电流解算（此步没有任何实际意义，请跳过）
根据当前步的磁链状态导出以m为下标的电流。
\[\left\{ \begin{array}{l} {i_{mq}} = \left( {\frac{{{\psi _{qs}}}}{{{L_{ls}}}} + \frac{{{\psi _{qr}}}}{{{L_{lr}}}}} \right) - \left( {\frac{{{\psi _{mq}}}}{{{L_{ls}}}} + \frac{{{\psi _{mq}}}}{{{L_{lr}}}}} \right)\\ {i_{md}} = \left( {\frac{{{\psi _{ds}}}}{{{L_{ls}}}} + \frac{{{\psi _{dr}}}}{{{L_{lr}}}}} \right) - \left( {\frac{{{\psi _{md}}}}{{{L_{ls}}}} + \frac{{{\psi _{md}}}}{{{L_{lr}}}}} \right) \end{array} \right.\]代码实现
为了第一次看到本文的读者，我啰嗦一下，代码在我的 Github 页面上，对于代码的解释，我倾向于使用视频教程的形式进行介绍，这样更符合二十一世纪的风格。
哔哩哔哩传送门：https://www.bilibili.com/video/av63771498/
结语
为了让本文的考虑饱和的模型真正有效，
- 要么得用有限元把你设计好的感应电机的饱和曲线给辨识出来，
- 要么得做实验把你的样机的饱和曲线给辨识出来， 不出意外，这些内容会陆续介绍的。
本文针对感应电机写作，实际上该饱和模型同样适用于同步电机，具体请参考 Therrien 2013。
Therrien, F., Wang, L., Jatskevich, J., & Wasynczuk, O. (2013). Efficient explicit representation of AC machines main flux saturation in state-variable-based transient simulation packages. IEEE Transactions on Energy Conversion, 28(2), 380-393.
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